Troisième C du C.E.M 19 P.A.

Equations et systèmes d’équations du 1er degré à deux inconnues

Equation 1^er dégré à 2 inconnues(1998)

Equation 1^er dégré à 2 inconnues(1998)

Assane et Ousseynou désirent acheter en commun un magnétoscope qui coûte $20000frs$ .Les économies d’Ousseynou représentent les $(4/5)$ de celle d’Assane. S’ils réunissent leurs économies, Il leur manque $2720Frs$ pour pouvoir effectuer leur achat.

1°/ En prenant $x$ et $y$ comme économies respectives de Assane et Ousseynou, mettre ce problème sous forme d’un système d’équation du premier degrés à deux inconnues.

2°/ Calculer alors le montant des économies de chacun des deux garçons.

Corrigé Equation du premier dégré à deux inconnues(1998)

1) x représente l’économie de Assane et y l’économie de Ousseynou

on a : $left{ begin{array}{c} y=frac{4}{5}x x+y=20000-2720% end{array}% right. Leftrightarrow left{ begin{array}{c} 4x-5y=0 x+y-17820=0% end{array}% right.$

$left{ begin{array}{c} 4x-5y=0 x+y=17280% end{array}% right. Leftrightarrow left{ begin{array}{c} 4x-5(-x+17280)=0 y=-x+17280% end{array}% right. Leftrightarrow left{ begin{array}{c} x=9600 y=7680% end{array}% right.$

Les économies de Assane et Ousseynou sont respectivement 9600F et 7680F

Applications affines

Application affine par intervalle (2003)

On considère les expressions suivantes :

$H(x)=4(x+sqrt{3})^{2}-4sqrt{3}(x+sqrt{3})+3$

$G(x)=(2x+sqrt{3})^{2}$

1) Développer, réduire et ordonner H(x) et G(x).

2) En déduire une factorisation de H(x).

3) On pose $Q(x)=sqrt{H(x)}$

a) Résoudre l’équation $Q(x)=2sqrt{3}$

b) Dans un repère orthonormal (o, $vec{i}$ , $vec{j}$ ), représenter Q.
corrigé : Application affine par intervalle (2003)

On considère les expressions suivantes

H $left( xright) =4left( x+sqrt{3}right) ^{2}-4sqrt{3}left( x+sqrt{3}right) +3$

G $left( xright) =left( 2x+sqrt{3}right) ^{2}$

1 $% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$ ) Développer, réduire et ordonner H(x) et G(x).

On a H $left( xright) =4left( x^{2}+2xsqrt{3}+3right) -4sqrt {3}x-12+3$

H $left( xright)$ $=4x^{2}+8xsqrt{3}+12-4xsqrt{3}-12+3$

H $left( xright)$ = $4x^{2}+4xsqrt{3}+3$

G $left( xright) =left( 2x+sqrt{3}right) ^{2}=4x^{2}+4xsqrt{3}+3$

2 $% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$ ) Aprés développement de H(x) et G(x) on remarque que H(x) = G(x).

D’ou H(x)= $left( 2x+sqrt{3}right) ^{2}$

3 $% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$ ) On pose $Q(x)=sqrt{H(x)}$

$Q(x)=sqrt{left( 2x+sqrt{3}right) ^{2}}=leftvert 2x+sqrt {3}rightvert$

a) Résolvons l’équation Q(x) =2 $sqrt{3}$

$Q(x)=2sqrt{3}$ équivaut `a $leftvert 2x+sqrt{3}rightvert =2sqrt{3}$

$Longleftrightarrow$ $2x+sqrt{3}=2sqrt{3}$ ou $2x+sqrt{3}=-2sqrt{3}$

$Longleftrightarrow2x=-sqrt{3}$ ou $2x=-3sqrt{3}$

$Longleftrightarrow$ x = - $frac{sqrt{3}}{2}$ ou x = - $frac{3}{2}sqrt{3}$

Conclusion : L’équation Q(x) = 2 $sqrt{3}$ a pour solutions x =- $frac{sqrt{3}}{2}$ ou x = - $frac{3sqrt{3}}{2}$

$S=$ $left{ -frac{sqrt{3}}{2},-frac{3sqrt{3}}{2}right}$

b) Représentons Q dans un repère $left( O,overrightarrow {i},overrightarrow{j}right)$ $Q(x)=leftvert 2x+sqrt{3}rightvert$

2x+ $sqrt{3}=0$ si et seulement si $x=-frac{sqrt{3}}{2}$

Q est une application affine par intervalles

si x $inleft] -infty,-frac{sqrt{3}}{2}right] ,Qleft( xright) =-2x-sqrt{3}$

si x $inleft[ -frac{sqrt{3}}{2},+inftyright[ ,Qleft( xright) =2x+sqrt{3}$

Pour représenter Q, on peut par exemple placer les points de coordonnées respectives $left( -frac{sqrt{3}}{2},0right) ,left( 2,4+sqrt{3}right) ,left( -3,6-sqrt{3}right)$

Applications affines (2004)

1) Pour organiser une colonie de vacances pour les 50 enfants de ses employés, une société établie à Dakar lance un appel d’offre auquel 3 agences de transport A, B et C ont soumissionné :

l’agence A réclame pour chacun de ses cars un forfait de 30000 F et 500 F pour chaque milomètre parcouru.

l’agence B réclame pour chacun de ses cars un forfait de 40000F et 300 F pour chaque kilomètre parcouru

l’agence C réclame 64000 F pour chacun de ses cars.

a) Etablir la rélation exprimant la somme y à payer en fonction du nombre x de kilomètres parcourus pour chacune des 3 agences.

b) Dans un même repère orthonormal (1 cm pour 10 kh en abscisses et 1 cm pour 10000 F en ordonnées), représenter graphiqement les 3 relations précédemment obtenues.

c) Déterminer graphiquement sur quelle longueur de trajet :

l’agence A réclame plus que l’agence B ;

L’agence A et l’agence C réclament la même somme

l’agence B réclame moins que l’agence C.

2) Les enfants sont répartis en deux groupes :

le premier groupe va à Thies, ville distante de 70 km de Dakar.

le deuxième groupe va à kaolack, ville distante de 192 km de Dakar.

a) indiquer sur chacun de ses deux trajets l’agence la moins chère qui sera retenue

b) Quelle est l’agence qui n’aura aucune part de ce marché ? Pourquoi ?

3) Deux cars sont prévus pour le voyage sur Kaolack et cinq cars pour le voyage sur Thies.

Si chacun des enfants du premier groupe verse 5000 F et chacun des enfants du deuxième groupe verse 3000 F, alors la société devra compléter pour 223 000F pour couvrir les frais de transport.

Quel est le nombre d’enfants qui composent chaque groupe ?
Corrigé : Applications affines (2004)

a) Etablir la relation exprimant la somme y à payer en fonction du nombre x de kilomètres parcourus pour chacune des 3 agences.

Agence A

l’agence A réclame un forfait de 30000 f et 500 f pour chaque kilomètre parcouru.

donc $Y_{A}=500x+30000$

Agence B

l’agence B réclame un forfait de 40000 f et 300 f pour chaque kilomètre parcouru

donc $Y_{B}=300x+40000$

Agence C

l’agence C réclame 64000 f pour chacun de ses cars

$y_{c}=64000$

c) L’agence A réclame plus que l’agence B si $Y_{A}=Y_{B}$ .

c’est à dire $500x+30000succ300x+40000$

donc $x>50$

L’agence A réclame plus que l’agence B si la longueur du trajet dépasse $50km$

L’agence A et l’agence C réclament la même somme pour un trajet de 68km.

$Y_{A}=Y_{C}$ si $x=68km$

L’agence B réclame moins que l’agence C si $Y_{B}<Y_{C}$

c’est à dire $300x+40000prec64000$

donc $x<80$

L’agence B réclame moins que l’agence C si la distance à parcourir est inférieur à 80 km :

2)a) Pour un voyage sur Thiés

$Y_{A}=500times70+30000=35000+30000=65000^{F}$

$Y_{B}=300times70+40000=21000+40000=61000^{F}$

$Y_{C}=64000^{F}$

Donc pour aller à Thiés l’agence la moins chére est B

Pour un voyage sur Kaolack :

$Y_{A}=500times192+30000=96000+30000=126000^{F}$

$Y_{B}=300times192+40000=57600+40000=97600^{F}$

$Y_{C}=64000^{F}$

Donc pour aller à kaolack l’agence la moins chére est C

b) Pour un voyage sur Thiés ou sur Kaolack , l’agence A n’aura aucune part de marché car demeure la plus

chère des trois dans ces deux cas.

3) Soient x le nombre d’enfants qui vont à thiés et y le nombre de ceux qui vont à kaolack.

$x+y=50$

la somme versée par les enfants est $5000x+3000y$

Pour aller à Thiés, l’agence choisie étant B et sur kaolack,l’agence choisie étant C, la somme à verser sur deux agences est

$5$ $times61000+2times64000$

La somme deboursée par les enfants est donc :

$5times61000+2times64000-223000$

On obtient le systéme d’équation suivant : $left{ begin{array}{rrrrr} x & + y & = & 50 5x & + 3y & = & 210 end{array} right.$

$left{ begin{array}{rrrrr} x & = & 30 y & = & 20 end{array} right.$

Statistique

Statistiques (2003)
Le tableau ci-dessous représente la répartition des notes de mathématiques lors d’un test de niveau où la note moyenne est 12,5. 1) Calculer x, la meilleure note attribuée lors de ce test.

2) Combien d’élèves ont une note au moins égale à 12 ?

3) Quel est le pourcentage des élèves qui ont au plus 15 ?

4) Déterminer la note médiane

5) Construire le diagramme circulaire de la série
corrigé : Statistiques (2003)

le tableau ci-dessous représente la répartition des notes de mathématiques lors d’un test de niveau où la note moyenne est 12,5.

1) Calculons x, la meilleure note attribuée lors de ce test

La moyenne est 12,5 signifie :

$frac{6times6+8times9+9times15+12times9+15times15+18x}{6+9+15+9+15+18}% =12,5$

c’est à dire $frac{576+18x}{72}=12,5$

$12,5times72=576+18x$

$18x=324$

$x=frac{324}{18}=18$

2) Le nombres d’éléves ayant une note au moins égal à 12 correspond à l’effectif cumulé décroissant de la note 12 ;

c’est $9+15+18=42$ élèves.

3) Le pourcentage des éléves qui ont au plus 15 représente la frequence cumulée croissante de la note 15 ;

c’est $frac{6+9+15+9+15}{6+9+15+9+15+18}=frac{54}{72}=frac{3}{4}=75%$ .

4) La 36 $^{igrave{e}me}$ et 37 $^{igrave{e}me}$ note sont toutes égales à 12 donc leur demi-somme vaut 12 ; par conséquent la médiane Me = 12

5) Construisons le diagramme circulaire de la série.

L’angle $alpha$ correspondant à une note d’effectif n se calcule par la formule $alpha=frac{360^{% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion }}{72}times n.$

On obtient les résultats suivants

le diagramme est :

statistiques (2006)

Pour préparer une opération tabaski, un éleveur pèse ses 300 moutons afin de les répartir par cathégories de poids, en quatre classes de poids, d’amplitude 4 kg, qu’il désigne respectivement par :

« 4^e choix », 3^e choix« , »2^e choix« , »1^e choix".

le relevé ci-dessous donne le poids en kilogramme des moutons pesés :

$50-52-52,2-54,5-52-59-58-55-55,5-56-55-55-57-58-58,5-60$

$60,5-65-63-60-61-65-64-65-55-59-58-59-59,5-65$

1) Donne les classes de cette répartition sachant que la borne inférieure de la première classe de poids est 50.

2) Dresse le tableau des effectifs de la série groupée en classe obtenue. Détermine la classe médiane.

3) On suppose dans la suite que le tableau des effectifs obtenu est :

Dessine le diagramme circulaire de cette série.

4) Un mouton« 1^e choix » est vendu à 70000 F, un mouton « 2^e choix » 65000F et un mouton « 4^e choix »52500F.

A combien un mouton « 3^e choix » devra t-il être vendu pour que le prix de vente moyen des moutons soit 62000 F une fois que les moutons seront tous vendus aux prix indiqués.
Corrigé : Statistiques (2006)

1) les classes de la répartition sont :

$left[ 50,54right[ ,left[ 54,58right[ ,left[ 58,62right[$ et $left[ 62,66right[$

2) Tableau des effectifs de la série groupée obtenue

1) les classes de la répartition sont :

$left[ 50,54right[ ,left[ 54,58right[ ,left[ 58,62right[$ et $left[ 62,66right[$

2) Tableau des effectifs de la série groupée obtenue

la classe médiane est $left[ 58,62right[$ car elle est la première classe dont l’effectif cumulé croissant

est supérieure à $frac{30}{2}=15$

Diagramme circulaire de la série

on détermine les angles correspondants aux classes

$left[ 50,54right[ ,$ effectif $=4$ donc angle $=frac{360times4}{30}=48% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$

$left[ 54,58right[ ,$ effectif $=8$ donc angle $=frac{360times8}{30}=96% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$

$left[ 58,62right[ ,$ effectif $=12$ donc angle $=frac{360times12}% {30}=144% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$

$left[ 62,66right[ ,$ effectif $=6$ donc angle $=frac{360times6}{30}=72% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$ %

4) $overline{x}=62000$ et p le prix d’un mouton « 3 $^{acute{e}me}$ choix »

on a

$62000=frac{52500times4+ptimes8+65000times12+70000times6}{30}$

$62000=frac{8p+1410000}{30}$

donc $p=56250$

Source: http://examen.sn/spip.php?rubrique134