Troisième C du C.E.M 19 P.A.

Relations trigonométriques dans un triangle rectangle

Calcul du carré du cosinus (2004)
1) Tracer un demi cercle C de centre o et de Diamètre $left[ ABright]$ tel que $AB=2r$

Soit M un poit du demi cercle C, plus proche de B que de A.

Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier.

2) Soit a et b les mesures en degrés respectives des angles $widehat{BAM}$ et $widehat{BOM}$ et C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.

a) Donner deux expressions différentes de $cos a$

b) En déduire que :

AC=AM $cos a$

$AM^{2}=ABtimes AC$

c) On sait que $AC=AO+OC$

Exprimer OC en fonction de $cos b$

En déduire que AC= $r(1+cos b)$

d) Déduire des questions précedentes que $cos^{2}a=frac{1+cos b}{2}$

Corrigé : Calcul du carré du cosinus (2004)
1)

l’angle $widehat{AOB}$ est un angle plat au centre qui intercepte le même arc que l’angle suivant $widehat{AMB}$

d’où $widehat{AMB}=$ $frac{1}{2}widehat{AOB}$

$widehat{AMB}$ = $frac{180^{% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion }}{2}=90^{% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion }$

ainsi $left( AMright) perpleft( MBright)$

d’où le triangle AMB est rectangle en M.

2) Dans le triangle ABM

cos a = $frac{AM}{AB}$

Dans le triangle AMC

cos a = $frac{AC}{AM}$

b) de cos a = $frac{AC}{AM},$

on tire AC = AM cos a or cos a = $frac{AM}{AB}$

d’où AC = $frac{AM}{AB}times AM$

AC = $frac{AM^{2}}{AB}$

d’où AM $^{2}=ABtimes AC$

c) Dans le triangle OMC rectangle en c

cos b = $frac{OC}{AM}$

d’où OC = OM cosb = r cosb

AC = AO +OC = r + rcosb

donc AC = r $left( 1+cos bright)$

d) on sait que cos a = $frac{AM}{AB}$

et cos a = $frac{AC}{AM}$

d’où cos $^{2}a=frac{AM}{AB}timesfrac{AC}{AM}$

ce qui donne cos $^{2}a=frac{AC}{AB}$

or AC = r $left( 1+cos bright)$

et AB = 2r ainsi cos $^{2}a=frac{rleft( 1+cos bright) }{2r}% =frac{1+cos b}{2}$

Relations métriques dans un triangle (2002)

1°/ Construire un triangle ABC tel que AB=4 cm ; AC=3 cm ; BC=5cm

2°/ Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

3°/ Dans le demi-plan de frontière (BC) ne contenant pas le point A construire le point D tel que

BCD soit un triangle équilatéral .Soit I le projeté orthogonal du point D sur la droite (BC)

a) Calculer DI

b) Calculer l’aire du triangle BCD

4°/ Le cercle de diamètre [BC] coupe le segment [BD] en un point M .Démontrer que M est le milieu de [BD] .

5°/ Soit E le symétrique de I par rapport au point B et $(Delta )$ la perpendiculaire à la droite (BC)

passant par E .La droite (CM) coupe la droite (ID) en H et la droite $(Delta )$ en F .

Démontrer que $CH=frac{5sqrt{3}}{3}$ puis calculer CF.
Corrigé : Relations métriques dans un triangle (2002)

2) $AB^{2}=16$

$AC^{2}=9$

$BC^{2}=25$

Nous avons : $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

D’aprés la réciproque du théorème de Pythagore $ABC$ est un triangle rectangle en $A$

3) Le triangle $BCD$ étant équilatéral, donc $[DI]$ est la médiatrice de $[BC]$

Et donc $DI^{2}+IB^{2}=BD^{2}$

$BD^{2}=BC^{2}=25$

$IB^{2}=left( frac{5}{2}right) ^{2}=frac{25}{4}$

$DI^{2}=25-frac{25}{4}=frac{75}{4}=left( frac{5sqrt{3}}{2}right) ^{2}$

$DI=frac{5sqrt{3}}{2}cong 4,33cm$

c) L’aire du triangle $BCD$ :

$frac{BCast DI}{2}=frac{25sqrt{3}}{4}$

l’aire est : $frac{25sqrt{3}}{4}$ $=10,825cm^{2}$

4) $M$ est un point du cercle de diamètre $[BC]$

donc $IM=IB=IA=IC=frac{5}{2}cm$ et $I$ milieu de $[BC]$ et $BC=BD=CD=5cm$

et $M$ un point de $[BD]$ donc $M$ est le milieu de $[BD]$ .

5) Nous avons : $CIH$ triangle rectangle en $I$ et $I% %TCIMACRO{U{a8}}% %BeginExpansion ddot{}% %EndExpansion hat{C}H=30% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$ car $Bhat{C}D=60% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$

et $[CH]$ est médiane du triangle $BCD$ .

$cos left( Ihat{C}Hright) =cos 30% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion$

$cos left( Ihat{C}Hright) =frac{sqrt{3}}{2}$ et $cos left( Ihat{C}Hright) =frac{CI}{CH}$

donc $CH=frac{CI}{cos left( Ihat{C}Hright) }=frac{frac{5}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{5sqrt{3}}{3}$

Nous avons : les triangles $CEF$ et $CIH$ sont en position de Thalés

Donc : $frac{CI}{CE}=frac{CH}{CF}$

d’où $CF=frac{CH.CE}{CI}$

$=frac{frac{5sqrt{3}}{3}ast frac{15}{2}}{frac{5}{2}}$

$=frac{5sqrt{3}}{3}ast frac{15}{2}ast frac{2}{5}$

$CF=5sqrt{3}$

Géometrie dans l’espace

Cône et pyramide (2003)

Un entrepreneur des travaux publics doit aménager le long des allées d’une avenue des bancs en béton. Il hésite entre deux modèles :

le modèle 1 a la forme d’un tronc de cône de révolution dont les bases paralléles ont respectivement 20 cm et 10 cm de rayons.

le modèle 2 a la forme d’un tronc de pyramide dont les bases paralléles sont des carrés de cotés respectifs 40 cm et 20 cm.

Les deux modèles ont une hauteur de 50 cm.

1) Représenter chaque modèle.

2) Sachant que le modèle le moins volumineux est le plus économique pour l’entrepreneur, aidez-le à faire le bon choix.
Corrigé : Cône et pyramide (2003)

Un entrepreneur des travaux publics doit aménager le long des allées d’une avenue des bancs en béton.

Il hésite entre deux modèles :

1) représentation des deux modèles :

Le modéle 1 a la forme d’un tronc de cône de révolution dont les bases parallèles ont respectivement 40cm et 10 cm de rayons.

Appelons h la hauteur du cône initial d’où le tronc de cône est découpé on a :

$frac{0,5}{h}=frac{O^{prime}B^{prime}}{OB}$

d’où $h=$ $frac{0,5times OB}{O^{prime}B^{prime}}$

$h=frac{left( h-50right) times2O}{10}$

$h=2h-100$ donc $h=100cm$

Soit $V_{1}$ le volume du tronc de cône on a :

$V_{1}=frac{1}{3}400pitimes100-frac{1}{3}100pitimes50=frac{40000pi }{3}-frac{5000pi}{3}$

$V_{1}=frac{35000pi}{3}$

modéle 2 : Appelons h $^{^{prime}}$ la hauteur de la pyramide initiale d’où le tronc est découpé.

on obtient par un calcul analogue au précédent $h^{^{prime}}=100cm$

Soit $V_{2}$ le volume du tronc de pyramide

on a $V_{2}=frac{1}{3}times1600times100-frac{1}{3}times400times 50$ $=frac{160000}{3}-frac{20000}{3}$

$V_{2}=frac{140000}{3}$

on a $frac{V_{2}}{V_{1}}=frac{4}{pi}$

donc $V_{1}=frac{pi}{4}V_{2}$

Ainsi $V_{1}$ est moins volumineux donc plus avantageux pour l’entrepreneur.

Théorème de Thalés

Théorème de thalés (2000)

Une échelle est appuyée contre un mur vertical et fait un angle de 72° avec le sol horizontal.

Le pied de l’échelle est à 1,5 m du pied du mur.

1/ Calcule la longueur de l’échelle en prenant cos 72°= 0,3

2/Détermine à 10 prés, la hauteur à laquelle se trouve le point d’appui de l’échelle au mur.
Corrigé :Théorème de Thalés (2000)

$BC=1,5cm$

1) Soit $L$ la longueur de l’échelle

On a $cos 72^{% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion }=frac{BC}{L}$

$Longrightarrow L=frac{BC}{cos 72% %TCIMACRO{U{b0}}% %BeginExpansion {{}^circ}% %EndExpansion }=frac{1,5}{0,3}=5m$

$L=5m$

$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}Longrightarrow AB=sqrt{AC% %TCIMACRO{U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion -BC% %TCIMACRO{U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion }=sqrt{25-2,25}=sqrt{22,75}$

$ABcong 4,77cm$
Théorème de thalés (1999)

On donne $3$ points, $E,G$ $et$ $H$ alignés, dans cette ordre, sur une droite $(D)$ tels que :

$EG=1$ et $EH=x;xin %TCIMACRO{U{211d} }% %BeginExpansion mathbb{R} %EndExpansion _{+}$

Sur une droite $left( Delta right)$ passant par $E$ et distinct de $(D)$ on prend deux points $M$ et $N$ tels que $(GM)$ soit paralléle à $(HN)$ et un point $F$ tel que $(FM)$ soit paralléle à $(GN)$ .